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Complexité et non linéarité, une discussion.

dimanche 1er octobre 2006, par Ivan Lavallée, Janine Guespin, Yvette Lucas

1er septembre 2006, Ivan Lavallée écrit :

Il me semble qu’une toute première chose à faire est de savoir de quoi on parle et se mettre d’accord sur les mots. Que signifie pour vous tous le terme COMPLEXITE ?

02 septembre, Yvette Lucas écrit :

trop bousculée pour intervenir longuement mais d’accord avec Ivan. Qu’entendons-nous par "complexité" ? j’ajouterai : et aussi par "systèmes complexes". Autre remarque : comment avancerons-nous si les chercheurs en sciences sociales ne participent pas au débat, c’est bien de la "rencontre" entre les concepts - méthodes - paradigmes des sciences dites dures et les sciences sociales qu’il est question. Mea culpa puisque je n’ai encore rien écrit , mais votre langage m’est difficile et demande un temps d’examen assez long. Sinon, on tombe dans les travers que nous voulons éviter.

02 septembre, Janine Guespin écrit :

Oui, le problème de l’interdisciplinarité est fondamental pour la poursuite et la réussite de notre groupe de travail, et comme le demande Ivan, cela exige de bien définir nos termes. (mais que veut dire définir dans notre contexte ? c’est à la linguiste peut être de nous aider ?). Cela nécessite indiscutablement, de la part de ceux qui écrivent de prendre un certain temps pour clarifier leurs idées. Cela implique de ne jamais parler par allusion (le "tout le monde connait" est évidemment toujours faux dans un travail interdisciplinaire.

Mais surtout cela nécessite aussi d’avoir des réunions de temps en temps, pour que chacun réalise jusqu’où il est compris, et surtout pour réussir en nous confrontant à construire une "culture commune" qui ne saurait se faire par e-mails. D’après mon expérience d’autres groupes interdisciplinaires, cela vient relativement vite.

Ceci dit, je ne vais pas botter en touche par rapport à la question d’Ivan, "Que signifie pour vous tous le terme COMPLEXITE ?" la question est de taille, un chercheur, il y a quelques années avait recensé 52 définitions de ce terme.

Personnellement, je ne l’aime pas tellement, mais je l’emploie dans le syntagme "sciences de la complexité" pour signifier ceci :

"De nouveaux concepts scientifiques ont été produits lors des quelques dernières décennies, d’une manière souvent transdisciplinaire, sous le terme peu précis et sujet à multiples interprétations de complexité. D’entrée de jeu, une difficulté importante dans l’approche réside en ce qu’il n’y pas, jusqu’à présent, une dénomination unique pour désigner cette évolution importante dans le domaine des connaissances, mais plutôt un réseau de dénominations, qui se recouvrent, sans être équivalentes, et qui évoquent plus, pour l’instant, une « mouvance » qu’une discipline. Dans le champ de la physique et des mathématiques, cependant, mais aussi de la chimie et de la biologie, un domaine restreint mais beaucoup mieux étudié des systèmes complexes, est constitué par les systèmes dynamiques non linéaires (SDNL)".

(introduction du livre Emergence, complexité et dialectique, Lucien Sève et coll. eds odile jacob 2005).

Je pense en outre que l’on pourrait avoir deux manières de préciser notre langage. L’une est de définir ’scientifiquement’ nos termes,en s’efforçant de se faire comprendre par tous. l’autre, non exclusive évidemment, consiste à se référer à notre objectif, ’utiliser les concepts nouveaux pour comprendre le monde en formulant des questions nouvelles’. Pour moi aussi, c’est le coeur de notre démarche. Ces nouveaux concepts ne vont pas nous donner des solutions, ce ne sont, pas plus que ne l’est la dialectique de marx, des dogmes. Ils doivent, c’est mon espoir, nous conduire à poser de nouvelles questions à bâtir de nouvelles "grilles d’analyse".

Et pour répondre à la très juste préoccupation de Yann, je répète qu’il ne s’agit pas pour moi de réduire le complexe et l’émergent (encore un mot à définir !!!) aux SDNL, mais simplement, en partant de ces exemples physiques ou biologiques relativement simples mais bien étudiés, de comprendre comment utiliser ces nouveaux outils : c’est vrai que ce faisant j’émets un postulat implicite : les outils forgés en étudiant les SDNL sont utilisables dans certains autres cas, même concernant la société. je reconnais qu’il reste à démontrer, c’est à quoi nous nous employons.

Par exemple, pour le terme ’complexité’ (ou, plus précisément ’non linéarité’ j’ai envie de dire, dans cette optique : Jusqu’à présent on a surtout été habitué à voir le monde en le "linéarisant", avec une place très importante pour la logique formelle, qui est linéaire. (j’entends par là qu’on s’intéresse surtout aux relations qui sont proportionnelles - l’effet est proportionnel à la cause, la force d’une protestation proportionnelle au nombre de personnes dans la rue - ce qui parfois est vrai, et parfois pas, mais on n’en tient pas compte !). Certes, la logique dialectique donne une autre façon de questionner le monde, en partant des contradictions. Nous avons montré (cf ouvrage ci-dessus) qu’elle est adaptée à la compréhension des systèmes dynamiques non linéaires. Inversement,les concepts basés sur la ’non linéarité’ (pris dans le sens -les SDNL- énoncé ci-dessus), doivent permettre de préciser cette logique dialectique en tenant compte notamment des avancées des mathématiques et de la physique des systèmes dynamiques non linéaires. (faut il mettre cette phrase en mode interrogatif ?)

Une autre précision s’impose ici ; de même que Lucien Sève a pu écrire "tout n’est pas dialectique", de même, je pense que "tout n’est pas complexe", et surtout que, dans ce qui est complexe, "tout n’est pas analysable par les concepts issus des sciences exactes", même si l’on s’en tient pour l’analyse à l’outil "faible" qu’est la métaphore. C’est pourquoi quand j’écris ’préciser cette logique dialectique’ j’entends, dans un premier temps en tous cas, un travail précis, et non un placage verbal. Je ne crois pas qu’il soit possible d’avoir d’ores et déjà des idées globales sur l’utilisation de ces concepts. je pense que nous devrons bâtir tout cela ensemble, dans un travail très fortement interdisciplinaire, où chacun aura sa part à égalité, (mais pas à l’identique). C’était un des buts de nos 3 exemples de métaphores, mais il faudra en trouver qui motivent d’avantage les participants.

Ainsi on pourrait peut être travailler sur le problème du ‘saut qualitatif’ et de la signification des termes quantitatif et qualitatif introduit par Yann avec sa citation ’de mémoire’ de Gramci. (Yann, peux tu envoyer la citation complète ?). Si cela intéresse plusieurs personnes nous pourrions peut être nous réunir rapidement pour envisager ce travail ? Le texte de Lucien à ce sujet dans l’ouvrage de 2005 sera un point de départ qui devrait nous faire gagner beaucoup de temps, et nous permettre de nous positionner sur des définitions communes.

02 septembre, Ivan écrit :

D’abord je suis surpris par cet engouement pour la "non linéarité" qui semble ici être associée à la complexité. Il y a belle lurette qu’en mathématiques et en informatique, on sait traiter des "êtres" non linéaires, quadratiques ou plus même, là où ça se corse c’est quand on en vient aux phénomènes exponentiels, ou plutôt non polynomiaux. En théorie de la complexité, on dispose de deux branches principales.

1) La complexité calculatoire (ou computationnelle) à la Turing-Levin-Cook. Cette théorie est basée sur le modèle théorique de Machine de Turing Universelle et on définit une mesure de complexité par la fonction (en temps ou en espace) qui donne la variation (temps ou espace) du calcul en fonction de la taille des données, ce qui permet :
-a) de définir proprement ce qu’est un problème ;
-b) de définir ce qu’est la calculabilité (Théorème de Gödel souvent cité à tort et à travers par les non-spécialistes) ;
-c) de définir ce qu’est un calcul, un algorithme ;
-d) de définir des classes de complexité des algorithmes et des problèmes.

2) La complexité descriptionnelle dûe à Kolmogorov qui permet de définir la complexité (ou l’aléatoirité) d’une suite binaire en fonction de la capacité à la compresser. Une suite binaire sera dite complexe, ou aléatoire (en première approche) si elle ne possède d’autre compression qu’elle-même. On sait aussi (Th. de Kolmogorov) que la plus petite compression d’une suite de longueur n ne peut être inférieure à log(n).

Si vous voulez, un jour je vous fait un exposé sur la théorie de la complexité, ça précisera les concepts.
Pour ce qui est des systèmes complexes, ce n’est pas tout à fait la même chose. Un système est dit complexe dès lors qu’il possède des propriétés que ne possède aucune de ses parties. On retrouve là tous les phénomènes d’émergence et de percolation, mais je ne vais pas m’étendre ici ce n’est pas le lieu.

En espérant avoir un peu précisé ce dont je parle.

3 Septembre, Janine écrit :

Ivan écrit « D’abord je suis surpris par cet engouement pour la "non linéarité" qui semble ici être associée à la complexité. Il y a belle lurette qu’en mathématiques et en informatique, on sait traiter des "êtres" non linéaires, quadratiques ou plus même. »

Oui, j’ai déjà eu ce problème avec un autre mathématicien et je crois important de m’en expliquer pour la suite de notre travail.

Lorsqu’un mathématicien me dit "la géométrie euclidienne, c’est un postulat, moi, par un point je peux faire passer, 1, 0, ou une infinité de parallèles à une droite", j’écoute poliment, je manifeste au besoin mon admiration, mais au fond "ça ne me fait ni chaud ni froid", car le monde qui m’entoure est euclidien, et les autres géométries ne changent pas ma vision du monde. En revanche, lorsque ce mathématicien me dit, "les systèmes d’équations différentielles ordinaires non intégrables présentent des propriétés telles que multistationnarité, chaos, bifurcations ...", c’est une toute autre affaire, car ces équations sont susceptibles de modéliser des phénomènes de mon monde. Autrement dit, elles sont susceptibles de nous dire que le comportement du monde qui m’entoure est peut-être très différent de ce que j’imaginais jusqu’à présent. Que le déterminisme peut être non prédictif, que la modification infime d’une certaine quantité, peut, dans des conditions très précises entraîner un changement qualitatif du comportement d’un système etc...

Ivan nous dit « il y a belle lurette qu’en mathématiques ...) Certes, mais pour que je commence à penser que ces propriétés mises en évidence il y a longtemps par les mathématiciens (Poincaré, puis les mathématiciens soviétiques dans les années 30...), peuvent avoir une influence sur ma vie professionnelle, il a fallu d’abord que la physique en montre la pertinence dans le monde physique. Puis, j’ai contribué à en déceler la pertinence dans l’étude du vivant. Et des modèles informatiques (systèmes multiagents, automates cellulaires etc...) on démontré que ces propriétés ‘mathématiques’ des systèmes d’équations différentielles non linéaires, se retrouvent dans un très grand nombre d’études de cas complexes non formalisables mathématiquement.( J’ai alors constaté que la majorité de mes collègues continuaient à refuser les modifications de la vision de la biologie qu’entraîne cette nouvelle méthodologie , ce qui a conduit au travail avec Lucien Sève.)

C’est alors que j’ai pensé que si ces nouvelles propriétés (dérangeantes pour mes collègues, dialectiques pour moi) se manifestent dans le monde physique, dans le vivant, dans les cas où les interactions entre les éléments sont de nature non linéaire, pourquoi ne se manifesteraient elles pas aussi dans la société, dans toute la sphère des êtres humains, où les interactions sont également non linéaires ? Je mets la discussion à la première personne, mais il est clair qu’il s’agit d’idées qui sont partagées par un grand nombre de gens, et qui, de manière plus ou moins semblable, agitent tous ceux qui utilisent le terme (controversé d’ailleurs) de « sciences de la complexité ».

Quel est donc le rapport que je vois entre la ‘non linéarité’ et la complexité ? (« ...la "non linéarité" qui semble ici être associée à la complexité »).

C’est là qu’on a un gros problème de définition, car les différentes disciplines n’utilisent pas le même vocabulaire, et, dans le cas de la complexité, je vous ai déjà parlé de ce collègue qui en a dénombré 52 définitions ; les définitions mathématiques de la complexité ne sont donc pas universellement utilisées. On pourra discuter pour savoir si elles sont utiles dans le cadre de notre démarche. En biologie, par exemple, elles ne nous sont pas utiles. Nous sommes souvent amenés à dire que c’est d’une autre complexité que nous parlons.

Ivan différencie le cas des "systèmes complexes" qu’il identifie à systèmes où se produit de l’émergence" (« Un système est dit complexe dès lors qu’il possède des propriétés que ne possède aucune de ses parties. ») Je partage cette définition, (et j’ai souvent montré que c’est loin d’être le cas de nombreux biologistes- ou autres-, qui identifient complexe et compliqué, ce qui est un façon de détourner le regard des propriétés dérangeantes et dialectiques du monde complexe). En lisant le texte de Ivan, j’en déduis que je définis la complexité comme l’ensemble des propriétés des systèmes complexes.

Et on revient à la non linéarité : les systèmes dynamiques non linéaires représentent une (petite) partie des systèmes complexes, mais ils sont bien étudiés, tant en mathématiques qu’en physique et permettent déjà de se faire une (première) idée sur la manière dont ces nouveaux concepts pourraient être utiles à la transformation sociale. (CQFD Ivan ?).
C’est là où j’en suis. Et si maintenant, le mathématicien me dit, « mais en simplifiant comme tu l’as fait, tu as omis des tas de propriétés tout à fait importantes ! », je l’écouterai avec grande attention, et j’essayerai de savoir (avec lui et avec d’autres) si et comment ces autres propriétés peuvent être utiles pour poser de nouvelles questions pour la transformation sociale.

3 septembre, Ivan écrit :

Je suis étonné qu’une physicienne me dise "le monde qui m’entoure est euclidien" c’est faux, évidemment. Dans le monde qui t’entoure il y a des espaces courbes (sinon le temps n’existerait pas), t’es-tu déjà promenée à la surface de la terre, as-tu observé la ligne d’horizon sur l’océan du haut de la dune du Pilat (c’est chez moi, viens voir si tu veux c’est l’un des plus beaux paysage du monde) ? sub atomiques et intersidéral, il y a des espaces "feuilletés" (voir les trajectoires de certaines particules dans les chambres à bulles), des espaces de dimensions fractionnaires appelés fractals, des espaces discrets... Sur un espace à courbure positive, le concept de parallèle n’a pas de sens, par contre le théorème (et non le postulat) de Lobatechvsky nous dit que dans un espace à courbure négative, par un point pris hors d’une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite. On en déduit une propriété intéressante qui est que la somme des angles d’un triangle est alors toujours inférieure à 180°. C’est comme ça que Wiles a démontré le grand théorème de Fermat en montrant que si le théorème de Fermat était faux, alors il y aurait des triangles dont la somme des angles serait égale ou supérieure à 180° dans la géométrie de Lobatchevsky.

Dans ta description des outils mathématiques tu reflètes bien la tradition mathématique classique française, tu n’évoques que les mathématiques du continu, or le monde physique n’est pas continu, et ce sont les mathématiques discrètes qui offrent les problèmes présentant la plus grande complexité. Comment -par exemple- fais-tu jouer un ordinateur aux échecs ? Il s’agit de lutter contre l’exhaustivité des procédures qui pour l’heur sont exponentielles. Le simple fait de remplir un sac-à-dos (virtuel) de façon optimale te confronte à des problèmes à forte complexité. La compression -sans pertes- d’une image (le ZIP ou le JPG sur ton ordinateur) est un problème discret de complexité dit "difficile" dans notre jargon. Il semble qu’il y ait confusion dans le vocabulaire entre "complexité" qui est une mesure et système complexe qui renvoie à des propriétés structurelles. On mesure la complexité d’un calcul ou d’un problème. Les problèmes dits "faciles" peuvent être résolus en temps ou en espace polynomial, et même pour certains logarithmique, les problèmes dits difficiles peuvent soit être résolus polynomialement mais de façon non-déterministe, soit exponentiellement de façon déterministe, soit encore de façon factorielle.

Pour ce qui est d’un système complexe, la définition que tu en donnes me va, mais ce n’est pas une mesure, ce n’est pas de même nature que la complexité qui est je le répète une mesure. Là il s’agit d’un phénomène structurel résumé dans la formule (très) approximative "Le tout est plus que la réunion des parties". Les deux sont liés certes, mais pas de façon évidente.

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